Случай единственного товара

Пусть имеется некоторый продукт, который (в простом случае) является единственным, удовлетворяющим некую потребность.

Общий возможный платежеспособный спрос на этот продукт (при фиксированной стоимости) обозначим как N0. Таким макаром N0 - общее число будущих покупателей данного продукта, которые могут для себя позволить его приобрести.

Введем понятие величины “плотность информационного охвата”, которая представляет Случай единственного товара собой возможность того, что клиент выяснит о существовании продукта за единицу времени. Обозначим данную величину - a.

Разумеется, что общее число покупателей, информированных о товаре, есть функция времени, которую можно обозначить как N(t). Исходя из приведенных выше определений, можно найти количество покупателей, которые выяснят о существовании продукта за Случай единственного товара период времени с момента t до момента t+Dt :

DN(t)= a( N0 -N(t)) Dt (1)

Преобразуя (1) и переходя к лимиту при Dt®0, получим дифференциальное уравнение

N(t)+ 1/a N¢(t)=N0 (2)

Решение этого уравнения имеет вид :

N(t)=N0( 1 – e - at ) (3)

Введем дальше понятие величины “привлекательность продукта”, которая Случай единственного товара представляет собой возможность того, что клиент, информированный о товаре, в течение единицы времени отважится на его приобретение. Обозначим данную величину - b.

Общее число покупателей, приобретших продукт к моменту времени t, обозначим как I(t). Тогда, используя определение величины “привлекательность продукта”, можно записать число покупателей, приобретших продукт за период времени с Случай единственного товара момента t до момента t+Dt :

DI(t)= b ( N(t) -I(t)) Dt (4)

Преобразуя (4) и переходя к лимиту при Dt®0, получим дифференциальное уравнение

I(t)+ 1/b I¢(t)=N(t) (5)

Используя выражение (3), перепишем дифференциальное уравнение (5) в виде :

I(t)+ 1/b I¢(t)= N0 ( 1 – e - at ) (6)

Решая Случай единственного товара уравнение (6) относительно I(t), получим :

I(t)=N0(1+1/(a-b) ( b e - at - a e -bt ) ) (7)

Разумеется, что функция I(t) не определена в случае, когда a=b.Для устранения этой неопределенности перейдем к лимиту при b®a :

lim b®a I(t) = N0 (1 – (at+1) e - at ) (8)

Таким макаром, функция I(t Случай единственного товара) есть не что другое, как общее число продаж продукта к моменту времени t. Для того, чтоб найти функцию зависимости скорости продаж от времени, которую можно обозначить как J(t), довольно отыскать производную функции I(t) по времени :

J(t) = N0 (ab/(a-b)) (-e - at + e -bt ) (9)

Для варианта Случай единственного товара b®a формула (9) перепишется в виде :

J(t) = N0 a2t e - at (10)

Единственный используемый продукт

Введем дополнительный параметр g - скорость расхода продукта. Тогда формула (4) воспримет вид :

DI(t)= [ b( N(t) - I(t) ) - g I(t) ] Dt (11)

И, соответственно, заместо выражения (6) получим :

I(t)+ 1/(b+g) I¢(t Случай единственного товара)= N0 b/(b+g) ( 1 – e - at ) (12)

Решение уравнения (12) будет иметь вид :

I(t)=N0 b/(b+g) (1+1/(a-b-g) ((b+g) e - at - a e -(b+g)t ) ) (13)

Выражение (9) воспримет вид :

J(t) = N0 ab/(a-b-g) (-e - at + e -(b+g)t ) (14)

Перейдем к Случай единственного товара лимиту при (b+g) ®a . Тогда (13) и (14) воспримут, соответственно, вид :

I(t) = N0 (a-g) /a (1 – (at+1) e - at ) (15)
J(t) = N0 (a-g) at e - at (16)

Случай многих конкурирующих продуктов

Пусть имеются m продуктов, которые удовлетворяют некую потребность (либо комплекс потребностей).

Общий возможный платежеспособный спрос на эти продукты (при фиксированной стоимости Случай единственного товара) обозначим как N0. Таким макаром N0 - общее число будущих покупателей данных продуктов, которые могут для себя позволить их приобрести.

Будем считать, что все будущие покупатели информированы обо всех товарах.

Обозначим bi– привлекательность i-го продукта, которая представляет собой возможность того, что клиент в течение единицы времени отважится на Случай единственного товара приобретение конкретно этого продукта. Отметим, что сумма всех bi <=1, (т.е. åbi <=1).

Разумеется, что общее число покупателей, приобретших i-й продукт, есть функция времени, которую можно обозначить как Ni(t). Исходя из приведенных выше определений, можно найти количество покупателей, которые выяснят о существовании продукта за период времени с Случай единственного товара момента t до момента t+Dt :

DNi(t)= bi ( N0 - åNk(t)) Dt (17)

Преобразуя (17) и переходя к лимиту при Dt®0, получим дифференциальное уравнение

N ¢i (t) + bi åNk(t)= bi N0 (18)

Решение этого уравнения имеет вид :

Ni(t)= bi/b0 N0( 1 – e - b0t ),гдеb0= åbi (19)

Тут можно усмотреть Случай единственного товара увлекательную аналогию меж введенной величиной “привлекательность продукта” и сравнительным рейтингом данного продукта. Справедливо представить, что эти величины совпадают с точностью до неизменного множителя.

Случай многих конкурирующих используемых продуктов

Введем дополнительный параметр gi - скорость расхода i-го продукта. Тогда формула (17) воспримет вид :

DNi(t)= [ bi ( N0 - åNk(t)) - gi Ni Случай единственного товара(t) ] Dt (20)

И, соответственно, заместо выражения (18) получим :

N ¢i (t) + bi åNk(t) + gi Ni(t) = bi N0 (21)

Запишем систему дифференциальных уравнений в матричной форме. Тогда:

N ¢(t) = N0 b - (A + E g) N(t) (22)

где : N(t) = { Ni(t) } –матрица-столбец,

b = { bi } –матрица-столбец,

А = { Aij } –квадратная Случай единственного товара матрица, коэффициенты которой Aij = bi ,

g = { gi } –матрица-столбец,

Е = { Еij } –единичная матрица, коэффициенты которой Еij = dij

Решение этой системы (в матричной форме) будет иметь вид :

N(t) = N0 ( E - e -(A + E g)t ) [( A + E g)-1 b] (23)

где матричная фукция e -(A + E g)t является матрицей размера mxm Случай единственного товара, определяемой в согласовании с разложением в ряд по стереням (A + E g).Необходимо подчеркнуть, что разложение этой экспоненты просит массивного перемножения матриц.

В качестве облегченного варианта общего варианта разглядим допущение g1=g2=...=gm=g. (Это имеет смысл, к примеру, при рассмотрении разных видов колбасы – скорость “расходования” их Случай единственного товара можно считать схожей).

Тогда, используя суммирование по i всех уравнений системы (18), получаем новое уравнение:

N¢0(t) + (b0 +g) N0(t) = bi N0 (24)

где N0(t) = åNk(t).Решением этого уравнения будет:

N0(t)= b0/(b0+g) N0( 1 – e - (b0+g)t ) (25)

Само же уравнение (18) перепишется в виде :

N ¢i Случай единственного товара (t) + gi Ni(t) = bi (N0 – N0(t)) (26)

решением которого будет :

Ni(t)= bi/(b0+g) N0( 1 – e - (b0+g)t ) (27)

Заключение.

В конце концов у меня вот о чём. В формулах, получившихся в математической экономике, имеют любопытную экспонентную S-образную формулу, начиная с формулы (7). А ведь такая Случай единственного товара S-образная формула упоминается и в ТРИЗе, и в Общей теории систем алгоритмов, и в эволюции, и ещё бог знает где (может быть, в прогнозировании экономических катастроф?).

Если в данной определенной ситуации арифметической экономики, к примеру, этот определенный тренд имеет рост. Как следует, имелся бы смысл вкладывать деньги в развитие Случай единственного товара этого тренда. А в математической экономике, этому же полностью для себя соответствует к первой производной этой самой S-образной формуле. Но, не считая первой производной, можно бы было поинтересоваться и 2-ой производной. И воздействие этой 2-ой производной могла бы как повышение этого роста, так и уменьшение Случай единственного товара его, её инфляции, либо, не дай боже, обрушение данной системы. А ведь эта экспонентная S-образная формула, к примеру, полностью совпадает в физике с формулой полураспада, к примеру, U235.

Мне только тяжело продолжать развитие данную такую теорию. В наилучшем случае, другие, уже умные и ещё здоровые, люди могли бы продолжить данную Случай единственного товара тему, а я бы, обрадовавшись, занялся бы физикой. В худшем - могли бы разъяснить мне мои ошибки, а я бы это сообразил и, вздохнув, занялся бы физикой. А в самом худшем случае, какие бы креативные и продвинутые меня бы обозвали и оплевали, либо вообщем бы никто просто не прочел Случай единственного товара эту мою чушь. Тогда бы мне пришлось попробовать продолжить все далее.

Вроде бы я произнес, или мне повезёт - или сам повезу. В смысле кое-как потащу.

С почтением,

Ёлочкин Сергей Владимирович

Наша родина, Тюмень, ecb@list.ru


sluzhbi-socialnoj-pomoshi-naseleniyu-referat.html
sluzhebnaya-aviagruzovaya-nakladnaya.html
sluzhebnaya-zapiska-dolzhna-soderzhat-sleduyushie-punkti.html