Случайное событие и его вероятность - реферат

Реферат по дисциплине «Математика»

Марийский муниципальный технический институт

Йошкар-Ола 2004 год.

Введение

Случай, случайность — с ними мы встречаемся ежедневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать нескончаемо. Казалось бы, здесь лет места для арифметики—какие уж законы в королевстве Варианта! Да и тут наука нашла достойные Случайное событие и его вероятность - реферат внимания закономерности—они позволяют человеку уверенно ощущать себя при встреча со случайными событиями.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Появление понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего существенное распространение в ту эру, когда приметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами Случайное событие и его вероятность - реферат азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, практически значащего «случай», «риск». Азартными именуют те игры, а которых выигрыш зависит приемущественно не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень ординарна и могла быть предана всестороннему логическому анализу Случайное событие и его вероятность - реферат. 1-ые пробы этого рода связаны с именами узнаваемых учёных—алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564—1642). Но честь открытия этой теории, которая не только лишь даёт возможность ассоциировать случайные величины, да и создавать определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым—Блезу Паскалю (1623—1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности Случайное событие и его вероятность - реферат было увидено, что имеются явления, которые владеют особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой корректности, но по мере роста числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.

1. Случайное событие. Его возможность.

Неважно какая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд главных понятий, на Случайное событие и его вероятность - реферат которых она базируется. Таковы, к примеру, в геометрии понятия точки, прямой, полосы; в механике - понятия силы, массы скорости, ускорения. Естественно, что не все главные понятия могут быть вполне определены, ибо "найти" понятие

- это означает свести его к другим, более известным. Разумеется, процесс определения одних понятий через другие должен кое-где кончаться, дойдя до Случайное событие и его вероятность - реферат самых первичных понятий, к которым сводятся все другие и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия есть и в теории вероятностей. Тут мы разглядим некие из их.

Под опытом (тестом, испытанием) мы будем осознавать некую воспроизводимую совокупа критерий, в каких наблюдается то либо другое явление, фиксируется тот Случайное событие и его вероятность - реферат либо другой итог. Заметим, что "опыт" не непременно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при всем этом человек выступает в роли наблюдающего либо фиксатора происходящего. от него зависит только решение: что конкретно следить и какие явления фиксировать.

Если итог опыта варьируется при Случайное событие и его вероятность - реферат его повторении, молвят об опыте со случайным финалом. Конкретно такие опыты мы будем тут рассматривать и добавление "со случайным финалом" ради сокращенности опускать. Тот факт, что при повторении опыта его главные условия сохраняются, и, означает, мы вправе ждать стойкости частот, тоже не будет всякий раз клеветать.

Случайным событием ( либо, короче, просто Случайное событие и его вероятность - реферат событием ) именуется всякий факт, который в опыте со случайным финалом может произойти либо не произойти. Действия мы будем обозначать большенными знаками латинского алфавита.

Разглядим несколько примеров событий. 1. Опыт - бросание монеты; событие A - возникновение герба. 2. Опыт - бросание 3-х монет; событие B - возникновение 3-х гербов. 3. Опыт передача группы из n сигналов; событие Случайное событие и его вероятность - реферат C - искажение хотя бы 1-го из их. 4. Опыт - выстрел по мишени; событие D - попадание. 5. Опыт - вынимание наобум одной карты из колоды; событие Е - возникновение туза. 6. Тот же опыт, что в примере 5; событие F - возникновение карты червонной масти.

Рассматривая перечисленные в наших примерах действия A,B,C, лицезреем, что каждое Случайное событие и его вероятность - реферат из их обладает некий степенью способности - одни большей, а другие наименьшей, при этом для неких из их мы сходу можем решить, какое из их более, а какое наименее может быть. К примеру событие A более может быть (возможно), чем B, а событие F более может быть Случайное событие и его вероятность - реферат, чем

Е. Хоть какое случайное событие обладает некий степенью способности, которую в принципе можно измерить численно. Чтоб ассоциировать действия по степени их способности, необходимо связать с каждым из их какое-то число, которое тем больше, чем больше возможность действия. Это число мы и назовем вероятностью действия.

Отметим, что сравнивая меж Случайное событие и его вероятность - реферат собой по степени способности разные действия, мы склонны считать более возможными те действия, которые происходят почаще, наименее возможными

- те, которые происходят пореже; маловероятными - те, которые вообщем не происходят. К примеру, событие "выпадение дождика в Москве 1-го июня грядущего года" более возможно, чем "выпадение снега в Москве тот же денек", а событие "землетрясения в Случайное событие и его вероятность - реферат Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение грядущего года" очень не много возможно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и статистика гласит, что подобные действия происходят раз в 100 лет). Таким макаром, понятие вероятности действия с самого начала тесновато увязывается с понятием его частоты.

Характеризуя вероятности событий Случайное событие и его вероятность - реферат числами, необходимо установить какую-то единицу измерения. В качестве таковой единицы естественно взять возможность достоверного действия, т.е. такового действия, которое в итоге опыта безизбежно должно произойти. Пример достоверного действия - выпадение менее 6 очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного действия: " камень, брошенный ввысь рукою возвратится на Землю, а не Случайное событие и его вероятность - реферат станет её искусственным спутником ".

Противоположностью достоверного действия является неосуществимое событие - то, которое в данном опыте вообщем не может произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости ".

Если приписать достоверному событию возможность, равную единице, а неосуществимому - равную нулю, то все другие действия - вероятные, но не достоверные будут характеризоваться Случайное событие и его вероятность - реферат вероятностями, лежащими меж нулем и единицей, составляющими какую то долю единицы.

Таким макаром, установлены единица измерения вероятности - возможность достоверного действия и спектр вероятностей - числа от нуля до единицы.

Какое бы событие A мы бы ни взяли, его возможность P(A) удовлетворяет условию:

0

Очень огромную роль в применении вероятностных Случайное событие и его вероятность - реферат способов играют фактически достоверные и фактически неосуществимые действия.

Событие A именуется фактически неосуществимым, если его возможность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю:

P(A) 0 Пример.

Опыт: 32 буковкы разрезной азбуки смешали меж собой; наобум вынимается одна карточка, стоящая на ней буковка записывается, карточка ворачивается назад Случайное событие и его вероятность - реферат и смешивается с другими. Таковой опыт делается 25 раз. Событие A заключается в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строку "Евгения Онегина":

"Мой дядя самых добросовестных правил". Событие A не является на физическом уровне неосуществимым, но возможность его так мала, что событие с таковой вероятностью можно смело считать фактически неосуществимым.

Аналогично Случайное событие и его вероятность - реферат, фактически достоверным является событие, возможность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице:

P(A) 1.

Введем новое принципиальное понятие: обратное событие. Обратным событию А именуется событие А, состоящее в непоявлении действия А.

Пример. Опыт: Один выстрел по мишени. Событие А - попадание в 10-ку Случайное событие и его вероятность - реферат. Обратное событие А - непопадание в 10-ку.

Вернемся к фактически неосуществимым и фактически достоверным событиям. Если какое-то событие А фактически нереально, то обратное ему событие А фактически достоверно и напротив.

Фактически неосуществимые ( и сопутствующие им фактически достоверные) действия играют огромную роль в теории вероятностей: на их базирована вся её познавательная Случайное событие и его вероятность - реферат ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться стопроцентно достоверным; он может быть только фактически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью.

В базе внедрения всех выводов и советов, добываемых при помощи теории вероятностей, лежит принцип практической убежденности, который можно сконструировать последующим Случайное событие и его вероятность - реферат образом:

Если возможность действия А в данном опыте очень мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, будто бы событие А вообщем нереально, т. е. не рассчитывать на его возникновение.

В ежедневной жизни мы повсевременно (хотя и безотчетно) пользуемся этим при принципом. К примеру выезжая куда Случайное событие и его вероятность - реферат-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в дорожной катастрофе, хотя некая (очень малая) возможность этого действия все таки имеется. Отправляясь летом на Кавказ либо в Крым, мы не захватываем с собой зимней верхней одежки, хотя какая-то (очень малая) возможность того, что нас настигнет мороз, всё Случайное событие и его вероятность - реферат-таки не равна нулю.

Перебегаем к самому узкому и трудному вопросу: как мала должна быть возможность действия, чтоб его можно было считать фактически неосуществимым ?

Ответ на вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельно взятом случае решается из практических суждений, в согласовании с той значимостью, которую имеет Случайное событие и его вероятность - реферат хотимый для нас итог опыта. Чем опаснее для нас вероятная ошибка пророчества, тем поближе к нулю должна быть возможность действия, чтоб его считать фактически неосуществимым.

Существует класс опытов, для которых вероятности их вероятных исходов можно вычислить, исходя конкретно из самих критерий опыта. Для этого необходимо, чтоб разные финалы опыта обладали симметрией Случайное событие и его вероятность - реферат и в силу этого были беспристрастно идиентично вероятными.

Разглядим, к примеру, опыт, состоящий в бросании игральной кости. Если кубик выполнен симметрично, "верно" (центр масс не сдвинут ни к одной из граней), естественно представить, что неважно какая из граней будет выпадать так же нередко, как любая из других. Потому что достоверное Случайное событие и его вероятность - реферат событие "выпадает какая-то из граней" имеет возможность, равную единице, и распадается на 6 идиентично равных вариантов (1, 2, 3, 4, 5 либо 6 очков), то естественно приписать каждому из их возможность, равную 1/6.

Для всякого опыта, владеющего симметрией вероятных исходов, можно применить аналогичный прием, который именуется конкретным подсчетом вероятностей.

Перед тем как дать Случайное событие и его вероятность - реферат метод конкретного подсчёта вероятностей, введём некие вспомогательные понятия.

Молвят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в итоге опыта безизбежно должно показаться хотя бы одно из их.

Примеры событий, образующих полную группу:

1) Возникновение "1", "2", "3", "4", "5", "6" очков при бросании игральной кости;

2) Два попадания, два промаха и одно попадание, один Случайное событие и его вероятность - реферат промах при 2-ух выстрелах по мишени.

Несколько событий в данном опыте именуются несопоставимыми если никакие два из их не могут показаться совместно. Примеры несопоставимых событий:

1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании монеты;

2) Два попадания и два промаха при 2-ух выстрелах;

3) Выпадение 2-ух, выпадение 3-х и выпадение 5 очков при однократном бросании Случайное событие и его вероятность - реферат игральной кости. Несколько событий именуются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из их не является более беспристрастно вероятным чем другое.

Заметим, что равновозможные действия не могут проявляться по другому, чем в опытах, владеющих симметрией вероятных исходов; наше неведение о том, какое из Случайное событие и его вероятность - реферат их вероятнее, не есть основание для того, чтоб считать действия равновозможными.

Примеры равновозможных событий:

1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании симметричной, "правильной монеты";

2) Возникновение карты "червонной", "бубновой", "трефовой" либо "пиковой" масти при вынимании карты из колоды.

С опытами, владеющими симметрией исходов, связываются особенные группы событий: они образуют полную группу, несовместимы и Случайное событие и его вероятность - реферат равновозможны.

Действия, образующие такую группу, именуются вариантами. Примеры случаев:

1) Возникновение герба и решки при бросании монеты;

2) Возникновение "1", "2", "3", "4", "5" и "6" очков при бросании игральной кости.

Если опыт обладает симметрией вероятных исходов, то случаи представляют собой набор его равновозможных и исключающих друг дружку исходов. Про таковой случай молвят, что он Случайное событие и его вероятность - реферат сводится к схеме случаев. Для таких опытов вероятен конкретный подсчет вероятностей, основанный на подсчете толики так именуемых подходящих случаев в общем их числе.

Случай именуется подходящим ( либо "благоприятствующим") событию A, если возникновение этого варианта тянет за собой возникновение данного действия.

Если опыт сводится к схеме случаев, то возможность действия A Случайное событие и его вероятность - реферат в данном опыте можно вычислить как долю подходящих случаев в общем их числе:

P(A)=m/n,

где m - число случаев, подходящих событию A; n - общее

число случаев.

Данная формула, так именуемая "традиционная формула" для вычисления вероятностей, предложенная еще в XVII веке, когда основным полем приложения теории вероятностей были азартные игры Случайное событие и его вероятность - реферат ( в каких симметрия вероятных  исходов обеспечивается особыми мерами), длительное время ( прямо до XIX века ) фигурировала в литературе как " определение вероятности "; те задачки, в каких схема случаев отсутствует, искусственными приемами сводились к ней. В текущее время формального определения вероятности не дается, т. к. это понятие считается первичным и Случайное событие и его вероятность - реферат не определяется.

В данное время для вычисления вероятностей применяется закон рассредотачивания Пуассона.

Рассредотачиванием Пуассона описываются :

а) показания счетчика, снимаемые через каждый интервал времени Т;

б) число зарегистрированных событий.

Рассредотачивание Пуассона играет огромную роль в практическом применении теории вероятностей: многие физические явления приводят конкретно к такому рассредотачиванию вероятностей.

2. Аксиома сложения вероятностей

Конкретный Случайное событие и его вероятность - реферат подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, возможно окажется затруднительным. Потому для определения вероятности действия бывает прибыльно представить данное событие в виде композиции неких других, более обычных событий. Приведём аксиомы, при помощи которых можно по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других случайных событий, каким – или образом связанных с первыми. Начнём Случайное событие и его вероятность - реферат с теорем, которые образуют группу с общим заглавием «теоремы сложения».

Аксиома 1. Пусть А и В – два несовместных действия. Тогда возможность того, что осуществится хотя бы одно из этих 2-ух событий, равна сумме их вероятностей: P(A U B)=P(A)+P(B).

Подтверждение.

Обозначим финалы, подходящие Случайное событие и его вероятность - реферат для действия А, через а1,а2,…,аm , а для действия В – через b1,b2,…,bn. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p1,p2,…,pm и q1,q2,…,qn . Тогда событию A U B благоприятны все финалы a1,a2,…,am , b1,b2,…,bn . В силу того что действия А и В Случайное событие и его вероятность - реферат несовместны, посреди этих исходов нет циклических. Потому возможность действия АUB равна сумме вероятностей этих исходов. т.е.

P(AUB)=p1+p2+…+pm+q1+q2+…+qn.

Но p1+p2+pm=P(A), q1+q2+qn=P(B), а поэтому

P(AUB)=P(A)+P(B).

Аксиома подтверждена.

Пример 1. Стрелок стреляет в мишень Случайное событие и его вероятность - реферат. Возможность вышибить 10 очков равна 0,3 , а возможность вышибить 9 очков равна 0,6. Чему равна возможность вышибить более 9 очков?

Решение. Событие А «выбить более 9 очков» является объединением событий В - «выбить 10 очков» и С – «выбить 9 очков». При всем этом действия В и С несовместны, потому что нельзя одним выстрелом вышибить сходу и 9, и 10 очков.

Потому Случайное событие и его вероятность - реферат по аксиоме 1 имеем:

P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9.

Если действия А1, А2, … ,Аn попарно несовместны, то событие A1U … UAn-1 несовместно с событием An . По правде,

(A1U…UAn-1) I An =(A1An)U…U(An-1  An) .

Но при s

Следствие. Если действия А1,…, Аn попарно несовместны, то возможность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:

P(A1U…UAn)=P(A1)+…+P(An).

Подтверждение. Как было отмечено выше, действия A1U … UAn-1 и An несовместны, а поэтому по Случайное событие и его вероятность - реферат аксиоме 1имеем:

P(A1U…UAn-1UAn)=P(A1U…UAn-1)+P(An).

Применяя это рассуждение к первому слагаемому и продолжая дальше, получаем после n-1 шага, что

P(A1U … UAn)=P(A1)+…+P(An).

Пример 2. В цехе работает несколько станков. Возможность того, что за смену востребует наладки ровно Случайное событие и его вероятность - реферат один станок, равна 0,2. Возможность того, что за смену потребуют наладки ровно два станка, равна 0,13. Возможность того, что за смену потребуют наладки больше 2-ух станков, равна 0,07. Какова возможность того, что за смену придётся проводить наладку станков?

Решение. В том примере опыт заключается в том, что прошла смена и отмечено, сколько Случайное событие и его вероятность - реферат станков за эту смену потребовало наладки. В этом опыте действия: А – «за смену востребовал наладки ровно один станок», В – «за смену востребовали наладки ровно два станка» и С – « за сену востребовали наладки более 2-ух станков» несовместны. Нас же интересует возможность действия AUBUC. По аксиоме 1: P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C Случайное событие и его вероятность - реферат)=0,2+0,13+0,07=0,4.

Выведем сейчас связь меж вероятностями обратных событий.

Аксиома 2. Для хоть какого действия А имеем: P(A*)=1-P(A).

Для подтверждения вспомним, что AUA*=U, P(U)=1 и A A*. Тогда по аксиоме 1 получаем: 1=P(U)=P(AUA*)=P(A)+P(A*), откуда следует требуемая формула.

Пример Случайное событие и его вероятность - реферат 3. Берётся наудачу трёхзначное натуральное число от 100 до 999. Какова возможность того, что хотя бы две его числа совпадают?

Решение. Опыт тут заключается в том, что наудачу выбирается натуральное число от 100 до 999 и глядят, есть ли у негосовпадающие числа. Действия «взяли наудачу число N» (N= 100, 101, … , 999) равновероятны (в этом смысл слова «наудачу Случайное событие и его вероятность - реферат» ) и образуют огромное количество исходов этого опыта. Число исходов n=900. Нас интересует событие А - «у избранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще, но, подсчитать возможность обратного действия А* - «у избранного числа все числа различны». Каждое такое число есть размещение без повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль. Как Случайное событие и его вероятность - реферат следует, m=(A10)3 –(A9)2=10.9.8—9.8=92.8 (из числа всех трёхэлементных размещений без повторений нужно отнять число тех, у каких на первом месте стоит нуль) и P(A*)=92.8/900=0,72. Тогда по

аксиоме 2 P(A)=1-P(A*)=0,28.

Пример 4. В урне, содержащей n шаров белоснежного, красноватого и чёрного цвета, находится k белоснежных шаров и L бардовых Случайное событие и его вероятность - реферат. Какова возможность вытащить шар не чёрного цвета?

Решение. Если событие А состоит в возникновении белоснежного, а событие В – красноватого шара, то возникновение шара не чёрного цвета значит возникновение или белоснежного, или красноватого шара. Потому что по определению вероятности

P(A)=k/n, P(B)=L/n,

То по аксиоме Случайное событие и его вероятность - реферат сложения возможность возникновения шара не чёрного цвета равна: P(A U B)=k/(n+L)/n=(k+L)/n.

Эту задачку можно решить и так. Пусть событие С состоит в возникновении чёрного шара. Число чёрных шаров равно n –(k+L), так что P(C)=(n—k—L Случайное событие и его вероятность - реферат)/n. 3

Возникновение шара не чёрного цвета является обратным событием С*, потому на основании обозначенного выше следствия из аксиомы сложения имеем: P(C*)=1—P(C )=1—(n—k—L)/n=(k+L)/n, по-прежнему.

Пример 5. В денежно – вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 валютных и 80 вещевых выигрышей. Какова возможность какого – или Случайное событие и его вероятность - реферат выигрыша на один лотерейный билет?

Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении валютного выигрыша, и через В — вещевого, то из определения вероятности следует P(A)=120/1000=0,12; P(B)=80/1000=0,08. Интересующее нас событие представляет (AUB), потому из аксиомы сложения вытекает:

P(AUB)=P(A)+P(B)=0,20.

Таким Случайное событие и его вероятность - реферат макаром, возможность какого – или выигрыша равна 0,2.

3. Закон равномерной плотности вероятности.

В неких задачках практики встречаются непрерывные случайные величины, о которых заблаговременно понятно, что их вероятные значения лежат в границах некого определенного интервала; не считая того, понятно, что в границах этого интервала все значения случайной величины идиентично возможны (поточнее, владеют одной и Случайное событие и его вероятность - реферат той же плотностью вероятности). О таких случайных величинах молвят, что они распределяются по закону равномерной плотности.

Дадим определение: равномерным именуется рассредотачивание непрерывной случайной величины Х все значения которой лежат на отрезке [a;b] и имеют при всем этом постоянную плотность рассредотачивания:

площадь под кривой рассредотачивания равна 1 и потому с(в Случайное событие и его вероятность - реферат-а)=1

возможность попадания случайной величины Х на интервал от (α;β)

α=а, если α<а

β=в, если β>в

главные числовые свойства закона рассредотачивания плотности рассчитываются по общим формулам и они равны

Приведем примеры схожих случайных величин:

Пример 1. Произведено взвешивание тела на четких весах, но в распоряжении взвешивающего имеются только разновески весом более 1г Случайное событие и его вероятность - реферат.; итог взвешивания указывает, что вес тела заключен меж k и (k+1/2) гр. Допущенная при всем этом ошибка X , разумеется, есть случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на участке г.

Пример 2. Вертикально поставленное симметричное колесо (см.Набросок№1) приводится во вращение и потом останавливается вследствие трения. Рассматривается случайная величина θ –угол, который после Случайное событие и его вероятность - реферат остановки будет составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса ОА. Разумеется величина θ распределена с равномерной плотностью на участке (0,2 π)

Набросок 1

Итак, я рассмотрю случайные величины и функции рассредотачивания.

4. Случайные величины

Определение. Пусть — случайное вероятностное место.

Случайной величиной именуется измеримая функция , отображающая в огромное количество реальных чисел , т.е. функция, для Случайное событие и его вероятность - реферат которой прототип хоть какого борелевского огромного количества есть огромное количество из -алгебры .

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случаем брошенной в квадрат точки .

Огромное количество значений случайной величины будем обозначать , а образ простого действия — . Огромное количество значений может быть Случайное событие и его вероятность - реферат конечным, счетным либо несчетным.

Определим -алгебру на огромном количестве . В общем случае -алгебра числового огромного количества может быть образована применением конечного числа операций объединения и скрещения интервалов либо полуинтервалов вида ( ), в каких одно из чисел либо может быть равно либо .

В личном случае, когда — дискретное (менее чем счетное) огромное Случайное событие и его вероятность - реферат количество, -алгебру образуют любые подмножества огромного количества , в том числе и одноточечные.

Таким макаром -алгебру огромного количества можно выстроить из множеств либо , либо .

Будем именовать событием хоть какое подмножество значений случайной величины : . Прототип этого действия обозначим . Ясно, что ; ; . Все огромного количества , которые могут быть получены как подмножества из Случайное событие и его вероятность - реферат огромного количества , , применением конечного числа операций объединения и скрещения, образуют систему событий. Определив огромное количество вероятных значений случайной величины — и выделив систему событий , построим измеримое место . Определим возможность на подмножествах (событиях) из таким макаром, чтоб она была равна вероятности пришествия действия, являющегося его прототипом: .

Тогда тройка назовем вероятностным местом Случайное событие и его вероятность - реферат случайной величины , где

— огромное количество значений случайной величины ; — -алгебра числового огромного количества ; — функция вероятности случайной величины .

Если каждому событию поставлено в соответствие , то молвят, что задано рассредотачивание случайной величины . Функция задается на таких событиях (базисных), зная вероятности которых можно вычислить возможность случайного действия . Тогда событиями могут быть действия .

5. Функция рассредотачивания Случайное событие и его вероятность - реферат и ее характеристики

Разглядим вероятностное место , образованное случайной величиной .

Определение. Функцией рассредотачивания случайной величины именуется функция реального переменного , определяющая возможность того, что случайная величина воспримет в итоге реализации опыта значение, наименьшее некого фиксированного числа :

(1)

Там где понятно, о какой случайной величине , либо речь идет, заместо будем писать . Если рассматривать случайную Случайное событие и его вероятность - реферат величину как случайную точку на оси , то функция рассредотачивания с геометрической точки зрения это возможность того, что случайная точка в итоге реализации опыта попадет левее точки .

Разумеется что функция при любом удовлетворяет неравенству . Функция рассредотачивания случайной величины имеет последующие характеристики:

2) Функция рассредотачивания — неубывающая функция , т.е. для всех и Случайное событие и его вероятность - реферат , таких что , имеет место неравенство .

Подтверждение. Пусть и и . Событие, состоящее в том, что воспримет значение, наименьшее, чем , представим в виде объединения 2-ух несовместных событий и : .

Тогда согласно теореме 3 Колмогорова, либо по формуле (1)

, (2)

откуда , потому что . Свойство подтверждено.

Аксиома. Для всех и возможность неравенства рассчитывается по формуле

(3)

Подтверждение. Справедливость формулы (3) следует из Случайное событие и его вероятность - реферат соотношения (2). Таким макаром, возможность попадания случайной величины в полуинтервал равна разности значений функции рассредотачивания вычисленных на концах полуинтервала и .

2) ; .

Подтверждение. Пусть и — две однообразные числовые последовательности, при этом , при . Событие заключается в том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий :

; .

Потому что , то по свойству вероятностей , т.е Случайное событие и его вероятность - реферат. .

Принимая во внимание определение предела, получаем ;

3) Функция непрерывна слева в хоть какой точке ,

Подтверждение. Пусть — неважно какая растущая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать:

На основании теоремы 3

Потому что ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некого номера , будет меньше , (аксиома об Случайное событие и его вероятность - реферат остатке ряда)

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию рассредотачивания. Получим

,

откуда либо , а это значит, что .

Из рассмотренных параметров следует, что любая функция рассредотачивания является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию и . И, назад, любая функция, владеющая качествами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция рассредотачивания некой случайной величины.

Аксиома. Возможность Случайное событие и его вероятность - реферат того, что значение случайной величины больше реального числа , рассчитывается по формуле .

Подтверждение. Достоверное событие представим в виде объединения 2-ух несовместных событий и . Тогда по 3-1 теореме Колмогорова либо , откуда следует разыскиваемая формула.

Определение. Будем гласить, что функция рассредотачивания имеет при скачок , если , где и пределы слева и справа функции рассредотачивания в Случайное событие и его вероятность - реферат точке .

Аксиома. Для каждого из места случайной величины имеет место формула

Подтверждение. Приняв в формуле (3) , и перейдя к лимиту при , , согласно свойству 3), получим разыскиваемый итог. Можно показать, что функция может иметь менее чем счетное число скачков. Вправду функция рассредотачивания может иметь менее 1-го скачка , скачков — менее 3-х, скачков менее Случайное событие и его вероятность - реферат чем .Время от времени поведение случайной величины характеризуется не заданием ее функции рассредотачивания, а любым другим законом рассредотачивания, но так, чтоб можно было получить из этого закона рассредотачивания функцию рассредотачивания .



smenit-nadmennost-na-pochtitelnost.html
smennij-rezhim-sluzhebnogo-vremeni.html
smert-bazaram-na-indeksaciyu-posobij-po-uhodu-za-rebenkom-do-15-let-orlovskim-fondom-socstraha-potracheno-svishe.html